17 Glossar

17.1 Mittelwert \(\bar{x}\) oder \(\mu\)

Symbol: \(\bar{x}\) (Stichprobe) oder \(\mu\) (Population)
Beschreibung: Der Mittelwert ist der Durchschnitt aller Werte in einer Stichprobe oder Population. Er gibt an, wo das Zentrum der Daten liegt.
Formel:
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
Anwendung: Wird verwendet, um den typischen Wert in Datensätzen zu beschreiben, z.B. den durchschnittlichen Lohn in einer Population.
R-Code:

mean(x)

Symbol: \(x_{0.5}\)
Beschreibung: Der Median ist der Wert, der die Daten in zwei gleiche Hälften teilt. Er ist robust gegen Ausreißer und gibt einen durchschnittlichen Wert an, der nicht durch Extremwerte beeinflusst wird.
Formel:
\[ x_{0.5} = \begin{cases} x_{(n+1)/2} & \text{falls } n \text{ ungerade} \\ \frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2} & \text{falls } n \text{ gerade} \end{cases} \]
Anwendung: Wird verwendet, um den typischen Wert in Datensätzen zu beschreiben, z.B. den durchschnittlichen Lohn in einer Population.
R-Code:

median(x)

Symbol: \(s^2\) (Stichprobe), \(\sigma^2\) (Population)
Beschreibung: Die Varianz misst die durchschnittliche quadratische Abweichung der Werte vom Mittelwert und beschreibt die Streuung der Daten.
Formel (Stichprobe):
\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]
Formel (Population):
\[ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \]
Anwendung: Wichtig zur Berechnung der Standardabweichung und zur Analyse der Datenstreuung.
R-Code:

var(x)
# Für Population: var(x) * (n-1)/n

Symbol: \(s\) (Stichprobe), \(\sigma\) (Population)
Beschreibung: Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz und beschreibt die durchschnittliche Abweichung der Werte vom Mittelwert.
Formel:
\[ \sigma = \sqrt{s^2}, \quad \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Anwendung: Zeigt, wie weit die Daten im Durchschnitt um den Mittelwert streuen. Häufig verwendet in der deskriptiven Statistik.
R-Code:

sd(x)

Symbol: \(\operatorname{SE}\)
Beschreibung: Der Standardfehler des Mittelwerts misst, wie genau der Mittelwert einer Stichprobe den wahren Mittelwert der Population schätzt.
Formel:
\[ \operatorname{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
Anwendung: Grundlage für Konfidenzintervalle und Hypothesentests.
R-Code:

sd(x) / sqrt(length(x))

Symbol: \(t\)
Beschreibung: Der t-Wert misst, wie stark ein beobachteter Wert vom erwarteten Wert (unter der Nullhypothese) abweicht, gemessen in Standardfehlern.
Formel (für Mittelwert-Test):
\[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{SE} \]
Anwendung: Verwendung in t-Tests, um Hypothesen über Mittelwerte zu überprüfen.
R-Code:

t.test(x, mu = 50)$statistic

Symbol: \(p\)
Beschreibung: Der p-Wert gibt die Wahrscheinlichkeit an, ein Ergebnis zu beobachten, das mindestens so extrem ist wie das tatsächliche Ergebnis, wenn die Nullhypothese wahr ist.
Formel (zweiseitig):
\[ p = 2 \cdot P(T > |t|) \]
Anwendung: Dient zur Entscheidungsfindung in Hypothesentests. Ein kleiner p-Wert deutet darauf hin, dass das Ergebnis signifikant ist.
R-Code:

t.test(x, mu = 50)$p.value

Symbol: \(df\)
Beschreibung: Freiheitsgrade geben an, wie viele Werte in einer Berechnung frei variieren können, ohne dass eine Bedingung verletzt wird.
Formel (für einfache Stichprobe):
\[ df = n - 1 \]
Anwendung: Wichtig bei der Bestimmung der kritischen Werte für t- und F-Tests.
R-Code:

length(x) - 1

Symbol: \(\hat{\beta}\)
Beschreibung: Der Regressionskoeffizient misst den Einfluss eines Prädiktors auf die abhängige Variable in einem linearen Regressionsmodell.
Formel (lineare Regression):
\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon \]
Anwendung: Analyse von Zusammenhängen zwischen Variablen in Regressionsmodellen.
R-Code:

lm(Y ~ X)$coefficients

Symbol: \(r_i\)
Beschreibung: Das standardisierte Residuum misst die Abweichung eines beobachteten Werts vom vorhergesagten Wert in Standardabweichungseinheiten.
Formel:
\[ r_i = \frac{e_i}{SE(e_i)} \]
Anwendung: Identifikation von Ausreißern in Regressionsmodellen.
R-Code:

rstandard(lm(Y ~ X))