9  Korrelation

Code 
# Funktion zur Generierung von korrelierten Daten
generate_data <- function(n, rho) {
  library(MASS)
  mu <- c(0, 0)
  sigma <- matrix(c(1, rho, rho, 1), ncol = 2)
  mvrnorm(n, mu, sigma)
}

# Layout für 2x2 Plots
par(mfrow = c(2, 2), mar = c(4, 4, 2, 1))

# Verschiedene Korrelationswerte
cor_values <- c(0.9, 0.5, 0, -0.999)

# Plots erstellen
for (rho in cor_values) {
  data <- generate_data(500, rho)
  plot(data, 
       main = paste("r =", rho),
       xlab = "x", 
       ylab = "y", 
       pch = 19, 
       col = rgb(0, 0, 1, 0.5))
}

Korrelation zwischen zwei Variablen
  1. Unterschied zwischen Korrelation und Kausalität:
    • Korrelation ≠ Kausalität: Nur weil zwei Variablen korrelieren, bedeutet das nicht, dass die eine Variable die andere verursacht.
    • Die Korrelation sagt nichts über die Kausalität, oder die Richtung der Wirkung.
    • Beispiele für Scheinzusammenhänge:
      • Der Konsum von Speiseeis korreliert mit der Anzahl von Sonnenbrandfällen. Ursache ist die höhere Sonneneinstrahlung im Sommer, nicht das Eis selbst.

9.1 Von der Kovarianz zur Korrelation

  1. Das Produkt der Abweichungen:
    • Zentrale Frage: “Variieren zwei Variablen gemeinsam?”
    • Formel: \[ (X_i - \bar{X}) \cdot (Y_i - \bar{Y}) \]
      • \(X_i\) und \(Y_i\) sind die beobachteten Werte der Variablen \(X\) und \(Y\) für die \(i\)-te Beobachtung.
      • \(\bar{X}\) und \(\bar{Y}\) sind die Mittelwerte der Variablen \(X\) und \(Y\).
      • Positives Produkt: Beide Abweichungen haben das gleiche Vorzeichen (gleichsinnige Variation).
      • Negatives Produkt: Abweichungen haben unterschiedliche Vorzeichen (gegensätzliche Variation).
  2. Kovarianz: Bedeutung und Berechnung:
    • Die Kovarianz misst die durchschnittliche gemeinsame Abweichung zweier Variablen von ihren Mittelwerten.
    • Formel der Stichprobenkovarianz: \[ \text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) \]
      • \(n\) ist die Anzahl der Beobachtungen.
      • \(X_i\) und \(Y_i\) sind die beobachteten Werte der Variablen \(X\) und \(Y\) für die \(i\)-te Beobachtung.
      • \(\bar{X}\) und \(\bar{Y}\) sind die Mittelwerte der Variablen \(X\) und \(Y\).
    • Interpretation:
      • Positive Kovarianz: Tendenz zu gleichsinniger Variation.
      • Negative Kovarianz: Tendenz zu gegensätzlicher Variation.
      • Nahe 0: Kein linearer Zusammenhang.
  3. Normierung zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten:
    • Problem der Kovarianz: Abhängig von den Einheiten der Variablen.
    • Lösung: Normierung durch die Standardabweichungen von \(X\) und \(Y\): \[ r = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} \]
      • \(\sigma_X\) und \(\sigma_Y\) sind die Standardabweichungen der Variablen \(X\) und \(Y\).
      • Ergebnis: Der Korrelationskoeffizient (\(r\)), der immer zwischen -1 und +1 liegt.

9.2 Der Pearson-Korrelationskoeffizient

\[ \rho_{X,Y} = \frac{\sum_{i=1}^N (X_i - \mu_x)(Y_i - \mu_y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^N (X_i - \mu_x)^2 \sum_{i=1}^N (Y_i - \mu_y)^2}} \]

  • \(\rho\) ist der Standardbuchstabe für den Korrelationskoeffizienten der Grundgesamtheit.
  • \(r\) ist der Standardbuchstabe für den Korrelationskoeffizienten der Stichprobe.
  • \(\mu_x\) und \(\mu_y\) sind die Mittelwerte der Variablen \(X\) und \(Y\).
  • \(N\) ist die Anzahl der Beobachtungen (wird hier gross geschrieben da es sich um die Grundgesamtheit handelt)
  • \(X_i\) und \(Y_i\) sind die beobachteten Werte der Variablen \(X\) und \(Y\) für die \(i\)-te Beobachtung.
Beispiel

Wir ergänzen unsere Daten aus Tabelle 7.1 um eine zweite Variable, die Lernzeit pro Woche (h), um zu untersuchen, ob ein Zusammenhang zwischen Lernzeit und Prüfungsnoten besteht.

Tabelle 9.1
Student Prüfungsnote (\(Y\)) Lernzeit (\(X\))
A 70 10
B 80 12
C 50 5
D 90 15
E 60 8

1. Berechnung der Mittelwerte

library(tibble)

noten_lernzeit_tabelle <- tibble(
    student = c("A", "B", "C", "D", "E"),
    note = c(70, 80, 50, 90, 60),
    lernzeit = c(10, 12, 5, 15, 8)
)


mean(noten_lernzeit_tabelle$note)
[1] 70

\[ \begin{aligned} \bar{Y} &= \frac{70 + 80 + 50 + 90 + 60}{5} \\ &= 70 \\ \end{aligned} \tag{9.1}\]

mean(noten_lernzeit_tabelle$lernzeit)
[1] 10

\[ \begin{aligned} \bar{X} &= \frac{10 + 12 + 5 + 15 + 8}{5} \\ &= 10 \end{aligned} \tag{9.2}\]

2. Kovarianz berechnen

cov(noten_lernzeit_tabelle$note, noten_lernzeit_tabelle$lernzeit)
[1] 60

\[ \begin{aligned} \text{Cov}(X, Y) &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) \\ &= \frac{1}{4} \left[ \begin{array}{l} (10-10) \cdot (70-70) + (12-10) \cdot (80-70) + (5-10) \cdot (50-70) + \\ (15-10) \cdot (90-70) + (8-10) \cdot (60-70) \end{array} \right] \\ &= \frac{1}{4} \left[0 \cdot 0 + 2 \cdot 10 + (-5) \cdot (-20) + 5 \cdot 20 + (-2) \cdot (-10)\right] \\ &= \frac{1}{4} \left[0 + 20 + 100 + 100 + 20\right] \\ &= \frac{1}{4} 240 \\ &= 60 \end{aligned} \tag{9.3}\]

3. Standardabweichungen berechnen

sd(noten_lernzeit_tabelle$note)
[1] 15.81139

\[ \begin{aligned} \sigma_Y &= \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum (Y_i - \bar{Y})^2} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4} \left[(70-70)^2 + (80-70)^2 + (50-70)^2 + (90-70)^2 + (60-70)^2\right]} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4} \left[0 + 100 + 400 + 400 + 100\right]} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4} 1000} \\ &= \sqrt{250} \\ &\approx 15.81 \end{aligned} \tag{9.4}\]

sd(noten_lernzeit_tabelle$lernzeit)
[1] 3.807887

\[ \begin{aligned} \sigma_X &= \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum (X_i - \bar{X})^2} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4} \left[(10-10)^2 + (12-10)^2 + (5-10)^2 + (15-10)^2 + (8-10)^2\right]} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4} \left[0 + 4 + 25 + 25 + 4\right]} \\ &= \sqrt{\frac{1}{4} 58} \\ &= \sqrt{14.5} \\ &\approx 3.81 \end{aligned} \tag{9.5}\]

4. Pearson-Korrelationskoeffizient berechnen

cor(noten_lernzeit_tabelle$note, noten_lernzeit_tabelle$lernzeit, method = "pearson")
[1] 0.9965458

\[ \begin{aligned} r &= \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} \\ &= \frac{60}{3.81 \cdot 15.81} \\ &= \frac{60}{60.21} \\ &\approx 0.997 \end{aligned} \]

Ergebnis: \(\rho_{X,Y} \approx 0.997\), was auf eine sehr starke positive Korrelation hindeutet.

5. Interpretation

  • Da \(\rho_{X,Y} \approx 0.997\) nahe an 1 liegt, bedeutet das, dass Studierende, die mehr Lernzeit investiert haben, tendenziell bessere Noten erzielt haben. (Aber: wir können nicht sagen, dass die Lernzeit die Note beeinflusst hat, sondern nur, dass beide Variablen tendenziell gemeinsam variieren.)
  • Das zeigt eine fast perfekte positive Korrelation zwischen den beiden Variablen.
  1. Idee: Produkt der Anomalien

\[ \begin{aligned} X_i ^d &= X_i - \mu_x \\ Y_i ^d &= Y_i - \mu_y \\ \sum_{i=1}^N (X_i - \mu_x)(Y_i - \mu_y) &= \sum_{i=1}^N X_i ^d Y_i ^d \end{aligned} \]

Wo \(X_i ^d\) die Abweichung von \(X_i\) vom Mittelwert \(\mu_x\) der Variable \(X\) ist und \(Y_i ^d\) die Abweichung von \(Y_i\) vom Mittelwert \(\mu_y\) der Variable \(Y\) ist.

Problem: Die Summe der Produkte der Abweichungen ist abhängig von der Stichprobengrösse \(N\).

  1. Division durch Stichprobengrösse Kovarianz zwischen \(X\) und \(Y\)

\[ \sigma_{x,y} = \frac{i=1}{N-1} (X_i - \mu_x)(Y_i - \mu_y) \]

Problem: Die Kovarianz ist abhängig von den Einheiten der Variablen.

  1. Standardisierung durch die Standardabweichungen der Variablen \(X\) und \(Y\)

\[ \rho_{X,Y} = \frac{\sum_{i=1}^N \frac{(X_i - \mu_x)}{\sigma_x} \frac{(Y_i - \mu_y)}{\sigma_y}}{N} \]

wo:

\[ \begin{aligned} \sigma_x &= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N (X_i - \mu_x)^2}{N}} \text{ ,und} \\ \sigma_y &= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N (Y_i - \mu_y)^2}{N}} \end{aligned} \]

  1. Ergebnis ist der Pearson-Korrelationskoeffizient \(\rho_{x,y}\)

\[ \rho_{X,Y} = \frac{\sum_{i=1}^N (X_i - \mu_x)(Y_i - \mu_y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^N (X_i - \mu_x)^2 \sum_{i=1}^N (Y_i - \mu_y)^2}} \]

Wenn wir Daten plotten, können wir häufig Korrelationen auch visuell schon relativ gut schätzen.

Code 
# Set seed for reproducibility
set.seed(123)

# Hohe Korrelation (r nahe bei 1)
x_high <- rnorm(30, mean = 5, sd = 1)
y_high <- 2 * x_high + rnorm(30, mean = 0, sd = 0.5)
r_high <- cor(x_high, y_high)

# Niedrige Korrelation (r nahe bei 0)
x_low <- rnorm(30, mean = 5, sd = 1)
y_low <- rnorm(30, mean = 5, sd = 1)
r_low <- cor(x_low, y_low)

# Plots nebeneinander
par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 2, 1))

# Plot mit hoher Korrelation
plot(x_high, y_high, 
     main = paste("Hohe Korrelation\nr =", round(r_high, 3)), 
     xlab = "x", ylab = "y", 
     pch = 19, col = rgb(0, 0, 1, 0.5))

# Plot mit niedriger Korrelation
plot(x_low, y_low, 
     main = paste("Niedrige Korrelation\nr =", round(r_low, 3)), 
     xlab = "x", ylab = "y", 
     pch = 19, col = rgb(0, 0, 1, 0.5))

Beispiele für Pearson-Korrelationen

Die visuelle Darstellung erlaubt es uns, die Sensitivität des Pearson-Korrelationskoeffizienten gegenüber Ausreissern zu betrachten. Dafür fügen wir den Daten einen Ausreisser hinzu und sehen, wie sich der Korrelationskoeffizient drastisch verändert.

Code 
# Berechnung des Pearson-Korrelationskoeffizienten

# Daten ohne Ausreisser generieren
x <- runif(30, 1, 10)
y <- runif(30, 1, 10)

# Korrelationskoeffizient ohne Ausreisser
r_no_outlier <- cor(x, y)

# Daten mit Ausreisser hinzufügen
x_outlier <- c(x, 20)
y_outlier <- c(y, 25)

# Pearson-Korrelationskoeffizient mit Ausreisser
r_with_outlier <- cor(x_outlier, y_outlier)

# Plots nebeneinander
par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 2, 1))

# Plot ohne Ausreisser
plot(x, y, 
     main = paste("Ohne Ausreisser\nr =", round(r_no_outlier, 3)), 
     xlab = "x", ylab = "y", 
     pch = 19, col = rgb(0, 0, 1, 0.5), xlim = c(0, 22), ylim = c(0, 27))

# Plot mit Ausreisser
plot(x_outlier, y_outlier, 
     main = paste("Mit Ausreisser\nr =", round(r_with_outlier, 3)), 
     xlab = "x", ylab = "y", 
     pch = 19, col = c(rep(rgb(0, 0, 1, 0.5), 30), rgb(1, 0, 0, 0.5)), xlim = c(0, 22), ylim = c(0, 27))

Einfluss von Ausreissern auf den Pearson-Korrelationskoeffizienten

9.3 Der Spearman-Rangkorrelationskoeffizient

Der Spearman-Korrelationskoeffizient misst den monotonen Zusammenhang zwischen zwei Variablen anhand ihrer Ränge. Er ist robuster gegenüber Ausreissern als die Pearson-Korrelation und eignet sich auch für nicht-lineare Beziehungen.

  • Wird verwendet, wenn der Zusammenhang nicht-linear, aber monoton ist.
  • Robuster gegen Ausreißer als Pearson.
  • Funktioniert für metrische und ordinale Daten.

\[ r_{(X,Y)} = 1 - \frac{6 \sum_{i=1}^n (r_{X_{i}} - r_{Y_{i}})^2}{n(n^2 - 1)} \]

  • \(r_{X_{i}}\) ist der Rang der \(i\)-ten Beobachtung von \(X\)
  • \(r_{Y_{i}}\) ist der Rang der \(i\)-ten Beobachtung von \(Y\)
  • \(n\) ist die Anzahl der Beobachtungen.
  • ACHTUNG: Vereinfachte Formel, wenn jeder Rang nur einmal vorkommt. Diese Formel darf bei unentschiedenen Rängen nicht verwendet werden.
Beispiel

Wir können mit unseren Daten aus Tabelle 9.1 auch den Spearman-Rangkorrelationskoeffizienten berechnen.

1. Ränge berechnen

noten_lernzeit_tabelle$note_rank <- rank(noten_lernzeit_tabelle$note)
noten_lernzeit_tabelle$lernzeit_rank <- rank(noten_lernzeit_tabelle$lernzeit)

noten_lernzeit_tabelle
# A tibble: 5 × 5
  student  note lernzeit note_rank lernzeit_rank
  <chr>   <dbl>    <dbl>     <dbl>         <dbl>
1 A          70       10         3             3
2 B          80       12         4             4
3 C          50        5         1             1
4 D          90       15         5             5
5 E          60        8         2             2
Student Prüfungsnote (\(Y\)) \(r_{Y_{i}}\) Lernzeit (\(X\)) \(r_{X_{i}}\)
A 70 3 10 3
B 80 4 12 4
C 50 1 5 1
D 90 5 15 5
E 60 2 8 2

2. Berechnung der Rangdifferenzen und quadrierten Rangdifferenzen

noten_lernzeit_tabelle$d_i <- noten_lernzeit_tabelle$note_rank - noten_lernzeit_tabelle$lernzeit_rank
noten_lernzeit_tabelle$d_i_sq <- noten_lernzeit_tabelle$d_i^2

sum(noten_lernzeit_tabelle$d_i_sq)
[1] 0

\[ \begin{aligned} \sum d_i^2 &= \sum_{i=1}^N (r_{X_{i}} - r_{Y_{i}})^2 \\ &= (3-3)^2 + (4-4)^2 + (1-1)^2 + (5-5)^2 + (2-2)^2 \\ &= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 \\ &= 0 \end{aligned} \]

3. Spearman-Korrelation berechnen

cor(noten_lernzeit_tabelle$note, noten_lernzeit_tabelle$lernzeit, method = "spearman")
[1] 1

\[ \begin{aligned} r_{(X,Y)} &= 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)} \\ &= 1 - \frac{6 \times 0}{5(5^2 - 1)} \\ &= 1 - 0 \\ &= 1 \end{aligned} \]

Ergebnis: \(r_{X,Y} = 1\), was auf eine perfekte positive Korrelation hindeutet.

4. Interpretation

  • Da \(r_{(X,Y)} = 1\), bedeutet das, dass die Ränge von Prüfungsnoten und Lernzeit perfekt übereinstimmen.
  • Das zeigt, dass die Variablen monoton steigend zusammenhängen – also mehr Lernzeit immer mit einer besseren Note einhergeht.

9.4 Vergleich der Korrelationskoeffizienten

9.4.1 Visualisierung der Korrelationen

Code 
# Synthetische Daten generieren
x <- rnorm(100, mean = 10, sd = 1)
y <- 0.8 * x + rnorm(100, mean = 0, sd = 0.5)

# Funktion zur Berechnung von Pearson- und Spearman-Korrelation
correlations <- function(x, y) {
  list(
    pearson = round(cor(x, y, method = "pearson"), 2),
    spearman = round(cor(x, y, method = "spearman"), 2)
  )
}

# Layout für 2x2 Plots
par(mfrow = c(2, 2), mar = c(4, 4, 2, 1))

# 1. Plot (ohne Ausreisser)
cor_vals <- correlations(x, y)
plot(x, y, pch = 19, col = rgb(0, 0, 1, 0.5),
     main = paste0("r(Spearman) = ", cor_vals$spearman, 
                   "\nr(Pearson) = ", cor_vals$pearson),
     xlab = "x", ylab = "y")

# 2. Plot (Ausreisser unten rechts)
x2 <- c(x, 12)
y2 <- c(y, -3)
cor_vals2 <- correlations(x2, y2)
plot(x2, y2, pch = c(rep(19, 100), 19), col = c(rep(rgb(0, 0, 1, 0.5), 100), rgb(1, 0, 0, 0.5)),
     main = paste0("r(Spearman) = ", cor_vals2$spearman, 
                   "\nr(Pearson) = ", cor_vals2$pearson),
     xlab = "x", ylab = "y")

# 3. Plot (Ausreisser oben links)
x3 <- c(x, 7.5)
y3 <- c(y, 1.5)
cor_vals3 <- correlations(x3, y3)
plot(x3, y3, pch = c(rep(19, 100), 19), col = c(rep(rgb(0, 0, 1, 0.5), 100), rgb(1, 0, 0, 0.5)),
     main = paste0("r(Spearman) = ", cor_vals3$spearman, 
                   "\nr(Pearson) = ", cor_vals3$pearson),
     xlab = "x", ylab = "y")

# 4. Plot (zwei Ausreisser oben links und unten rechts)
x4 <- c(x, 7.5, 12)
y4 <- c(y, 1.5, -3)
cor_vals4 <- correlations(x4, y4)
plot(x4, y4, pch = c(rep(19, 100), 19, 19), col = c(rep(rgb(0, 0, 1, 0.5), 100), rgb(1, 0, 0, 0.5), rgb(1, 0, 0, 0.5)),
     main = paste0("r(Spearman) = ", cor_vals4$spearman, 
                   "\nr(Pearson) = ", cor_vals4$pearson),
     xlab = "x", ylab = "y")

Einfluss von Ausreissern auf beide Korrelationskoeffizienten
Code 
# Set seed for reproducibility
set.seed(42)

# Basisdaten generieren
x <- runif(100, 7, 12)  # x-Werte im Bereich 7 bis 12

# 1. Lineare Beziehung
y_linear <- 0.8 * x + rnorm(100, mean = 0, sd = 0.5)

# 2. U-förmige (quadratische) Beziehung
y_quadratic <- -1 * (x - 9.5)^2 + 8 + rnorm(100, mean = 0, sd = 0.5)

# 3. Logarithmische Beziehung
y_logarithmic <- log(x - 6.5) + rnorm(100, mean = 0, sd = 0.3)

# 4. Exponentielle Beziehung
y_exponential <- exp((x - 10) / 3) + rnorm(100, mean = 0, sd = 0.5)

# Funktion zur Berechnung von Pearson- und Spearman-Korrelation
correlations <- function(x, y) {
  list(
    pearson = round(cor(x, y, method = "pearson"), 2),
    spearman = round(cor(x, y, method = "spearman"), 2)
  )
}

# Layout für 2x2 Plots
par(mfrow = c(2, 2), mar = c(4, 4, 2, 1))

# Farben definieren
colors <- rgb(0, 0, 1, 0.5)

# 1. Plot (lineare Beziehung)
cor_vals1 <- correlations(x, y_linear)
plot(x, y_linear, pch = 19, col = colors,
     main = paste0("r(Spearman) = ", cor_vals1$spearman, 
                   "\nr(Pearson) = ", cor_vals1$pearson),
     xlab = "x", ylab = "y")

# 2. Plot (quadratische Beziehung)
cor_vals2 <- correlations(x, y_quadratic)
plot(x, y_quadratic, pch = 19, col = colors,
     main = paste0("r(Spearman) = ", cor_vals2$spearman, 
                   "\nr(Pearson) = ", cor_vals2$pearson),
     xlab = "x", ylab = "y")

# 3. Plot (logarithmische Beziehung)
cor_vals3 <- correlations(x, y_logarithmic)
plot(x, y_logarithmic, pch = 19, col = colors,
     main = paste0("r(Spearman) = ", cor_vals3$spearman, 
                   "\nr(Pearson) = ", cor_vals3$pearson),
     xlab = "x", ylab = "y")

# 4. Plot (exponentielle Beziehung)
cor_vals4 <- correlations(x, y_exponential)
plot(x, y_exponential, pch = 19, col = colors,
     main = paste0("r(Spearman) = ", cor_vals4$spearman, 
                   "\nr(Pearson) = ", cor_vals4$pearson),
     xlab = "x", ylab = "y")

Einfluss von Nicht-Linearitäten auf beide Korrelationskoeffizienten

9.4.2 Vergleichstabelle

Kriterium Pearson Spearman
Art des Zusammenhangs
  • Misst lineare Zusammenhänge
  • Misst monotone Zusammenhänge (linear oder nicht-linear)
Anwendung
  • Häufig in der Statistik für metrische Variablen
  • Ideal für Rangdaten oder nicht normalverteilte Daten
Voraussetzungen
  • Normalverteilung der Variablen
  • Linearität
  • Keine Normalverteilung erforderlich
  • Monotone Beziehung erforderlich
Datentypen
  • Metrische (intervall- oder verhältnisskalierte) Daten
  • Ordinal-, Intervall- und Verhältnisskalen
Sensitivität gegenüber Ausreissern
  • Sehr empfindlich gegenüber Ausreissern
  • Robust gegenüber Ausreissern
Robustheit bei nicht-linearen Zusammenhängen
  • Nicht robust bei nicht-linearen Zusammenhängen
  • Robust bei nicht-linearen, aber monotonen Zusammenhängen
Skalenniveau
  • Intervall- oder verhältnisskaliert
  • Mindestens ordinalskaliert
Berechnungsgrundlage
  • Kovarianz, normiert durch Standardabweichung
  • Berechnet auf Basis von Rangdifferenzen
Vorteile
  • Einfach zu interpretieren
  • Weit verbreitet
  • Robust gegenüber Ausreissern
  • Geeignet für nicht-lineare monotone Beziehungen
Nachteile
  • Nicht robust gegenüber Ausreissern
  • Nicht geeignet für nicht-lineare Zusammenhänge
  • Weniger empfindlich bei linearen Zusammenhängen
  • Informationsverlust durch Rangkodierung